Termodinamica VI – Leggi dei gas perfetti

Come descritto precedentemente, i comportamenti delle sostanze nei vari stati della materia possono essere imprevedibili e non riproducibili se sottoposti a trasformazioni termodinamiche. Esiste però uno stato particolare che abbiamo visto durante la descrizione della taratura dei termometri a gas che ci permette una buona approssimazione dei comportamenti termodinamici senza avere comportamenti imprevedibili. Tutti gli elementi in certe condizioni di bassa pressione e alta temperatura assumono comportamenti simili, in particolare i gas nobili che non hanno reazioni chimiche sensibili. I gas ci permettono altresì di occupare tutto il volume a disposizione e sono facilmente comprimibili permettendo facilmente di modificarne pressione, volume e densità con gli strumenti che abbiamo descritto nei paragrafi precedenti nelle trasformazioni termodinamiche.
Un gas che ha tutte queste caratteristiche limite ha un comportamento ideale ai fini dei calcoli e della previsione e viene detto gas ideale o perfetto
D’ora in poi tratteremo solo gas che seguono queste caratteristiche.
Le leggi che seguiranno sono frutto di moltissimi esperimenti al fine di verificarne la precisione e veridicità almeno nelle condizioni descritte.

Legge isoterma di Boyle

Un gas viene mantenuto in equilibrio termico ad una certa pressione p entro un dato volume V. Il prodotto di p e V istante per istante al loro variare negli stati di equilibrio isotermi è costante costante.
Una tale trasformazione isoterma reversibile può essere ottenuta tramite un gas in un recipiente diatermico a parete scorrevole posto a contatto termico con una fonte di calore che mantiene la temperatura costante. Il volume viene modificato per controbilanciare i cambi di pressione passando da uno stato di equilibrio all’altro.
Quindi se abbiamo delle pressioni e volumi iniziali e finali questi saranno in relazione come segue

e così per tutti gli stati di equilibrio a quella temperatura per quel particolare gas perfetto.
Una tale relazione sul piano di Clapeyron p, V è equivalente ad un ramo di iperbole equilatera nelle coordinate p e V. Ogni ramo traccerà gli stati di equilibrio di una determinata temperatura. Poichè il prodotto costante è proporzionale alla temperatura T del gas, le curve non si incrociano mai e quelle a temperatura più alta si troveranno più in alto rispetto quelle a temperatura più bassa.

Legge isobara di Gay-Lussac
Se manteniamo la pressione costante di un gas, per mantenere gli stati di equilibrio in una trasformazione da una temperatura T
si verifica sperimentalmente che il volume varia linearmente con la temperatura ed è descritto dalla seguente legge

Dove V0 è il volume del gas a zero gradi Celsius e alfa è il coefficiente di dilatazione termica di cui abbiamo già parlato. Essendo una legge lineare, viene rappresentato sul piano di Clapeyron (p, V) con un segmento di retta parallelo all’asse dei volumi dato che la pressione è costante e varia solo il volume.

Legge isocora di Volta-Gay-Lussac
Se manteniamo costante il volume, troviamo una legge sperimentale del tutto simile a quella della trasformazione isobara, una pressione che varia linearmente con la temperatura.

dove p0 è la pressione del gas a zero gradi Celsius e beta è una costante indipendente dal tipo di gas
Sul piano di Clapeyron (p, V) viene rappresentata con un segmento di retta parallelo all’asse della pressione.
Come già detto, i comportamenti dei gas divengono estremamente simili per le condizioni limite di bassa pressione che gli danno un comportamento ideale. Anche le costanti alfa e beta divengono uguali per tutti i gas se portate a quelle condizioni limite

Quindi le leggi isocora e isobara possono essere scritte come segue

Con la temperatura misurata in gradi Kelvin.

Numero di Avogadro
Detto anche quarta legge dei gas, non riguarda direttamente la termodinamica, ma le sue implicazioni sono importantissime in ogni campo scientifico e oltre.
Alla stessa temperatura e pressione, volumi eguali di gas diversi, contengono lo stesso numero di molecole.

Anche questa legge si riferisce a gas che abbiano un comportamento simile a quello ideale.
Infatti, è naturale pensare che due volumi di gas eguali alla stessa temperatura e pressione abbiano lo stesso numero di molecole e per le condizioni dei gas perfetti questo vale anche per gas diversi dato che assumono lo stesso comportmento.
Se abbiamo una massa M di gas e m è la massa di ogni sua molecola, allora il numero N delle molecole sarà uguale a M/m cioè massa totale diviso la massa della singola molecola ci da il loro numero totale.
La massa m è il prodotto della massa molecolare A per l’unità di massa atomica

Da questo possiamo ricavare il numero di avogadro tramite una massa di gas

Se consideriamo una massa M che ha lo stesso valore di una massa A in Kg il rapporto M diviso A sarà uguale a uno quindi il numero N può essere univocamente definito in molecole su chilomoli cioè mille moli.

Se invece consideriamo una massa M uguale a A in grammi, l’unità sarà semplicemente molecole su mole.

La mole è considerata la settima unità di misura fondamentale definita dal Sistema Internazionale delle Misure.
Si definisce mole, una quantità di materia che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi contenuti in 0,012 g dell’isotopo di Carbonio 12 ovvero un numero di avogadro molecole. Una chilomole equivale banalmente a 1000 moli e quindi una chilomole contiene molecole.
Un importante conseguenza di questa legge è che proprio grazie al rapporto M/A usato, se avessimo una sostanza il cui peso in grammi sia uguale al suo numero atomico, questa conterrà proprio un numero di Avogadro di molecole cioè una mole.
Come definizione è stato usato l’isotopo di Carbonio 12 perchè è estremamente diffuso, stabile e il suo numero atomico è tra i più vicini ad un numero intero che banalmente facilita i calcoli.
Come altra conseguenza di questa legge, una mole di qualsiasi gas, a una data temperatura e pressione, occuperà sempre lo stesso volume in quanto pur avendo masse diverse, contengono lo stesso numero di molecole e per la legge isocora se avessimo una mole di gas a zero gradi Celsius (273,15 Kelvin) e alla pressione di un atmosfera (101325 Pascal) questo avrà un volume:

Questo volume è detto molare. Quindi n moli occupano un volume n volte quello molare a parità di pressione e temperatura.

Equazione di stato dei gas ideali
Possiamo ora riunire tutte le leggi elencate precedentemente in un unica legge che descrive il comportamento delle variabili termodinamiche per un gas dal comportamento ideale, che quindi segua tutti i postulati inizialmente definiti.

Se consideriamo un numero di n moli di un gas alla pressione atmosferica p0=101325 Pascal e alla temperatura T0= 273,15 Kelvin
Queste occuperanno un volume V0 = n volte il volume molare Vm. Mantenendo costante il volume e portando la temperatura al valore T, la pressione seguirà la legge isocora, quindi:

Quindi moltiplicando tutto per V0 otterremo possiamo ottenere un valore tramite la legge isoterma

Il prodotto dell’ultima eguaglianza può essere esteso per dei generici valori di pressione e volume che accordati allo stato di equilibrio della temperatura T.

dato che il volume totale è uguale a n volte il volume molare.
Il prodotto dell’ultima eguaglianza è una costante universale R che ha lo stesso valore per tutti i gas dal comportamento ideale. Infatti è il prodotto di tre costanti: la pressione atmosferica, il Volume molare e alfa che sono uguali per tutti i gas perfetti.

Si può incontrare questa espressione anche in un altra forma, dove n per R è espressa nella forma N per K dove N è il numero di molecole e K è la Costante di Boltzmann molto utile nella meccanica statistica. Quindi K è uguale alla costante dei gas perfetti diviso il numero di Avogadro.

Abbiamo finalmente definito una legge dai postulati iniziali e dalle 4 leggi sperimentali sui gas.
Questa equazione definisce tutti gli stati di equilibrio che ha un gas dal comportamento ideale sulla base delle sue variabili termodinamiche ed è definita come equazione di stato dei gas ideali.

Analizziamo bene le relazioni tra tutti i fattori presenti.
Notiamo che il primo membro dell’equazione è proporzionale al numero di moli per la temperatura di uno stato di equilibrio tramite la costante universale R.
Nuovamente apprezziamo che in un gas ideale in uno stato di equilibrio ci sono due variabili indipendenti alla volta in quanto la terza di ricava tramite l’equazione di stato. Per un dato numero di moli, uno stato di equilibrio viene definito totalmente da un punto sul piano di Clapeyron e la temperatura dall’equazione di stato.
Mantenendo costante una variabile termodinamica per volta, otteniamo le quattro leggi isoterma, isobara e isocora e il numero di Avogadro è contenuto nella costante R dato che n = N/(N av).
Dalle variabili termodinamiche possiamo estrapolarne altre direttamente collegate come la densità , infatti se dividiamo entrambi i membri dell’equazione per la massa totale, il volume diventa l’inverso della densità e il numero di moli diventa l’inverso della massa molecolare A.

Esplicitiamo le variabili dell’equazione di stato in modo da trovarle facilmente.

Ad esempio in questo modo possiamo trovare il numero di moli e molecole in qualsiasi stato di pressione, volume e temperatura.
Nota, dobbiamo ricordare che le temperature sono sempre misurate in Kelvin.

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Pubblicato su Fisica, Termodinamica

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