Termodinamica VII – Trasformazioni per i gas perfetti : lavoro e calore

In una trasformazione di gas perfetti si passa da uno stato di equilibrio ad un altro, affinchè tutte le variabili termodinamiche siano sempre “accordate” secondo la curva descritta sul piano di Clapeyron.

Se lo stato è di non-equilibrio le variabili non daranno risultati consistenti con l’equazione dei gas perfetti. Infatti a causa di trasformazioni troppo veloci o troppolente o se  è stato somministrato o ceduto troppo calore o pressione, analiticamente le variabili non risolveranno più l’equazione e fisicamente non ci sarà più uno stato di equilibrio.

E’ importante conoscere queste due facce della medaglia perchè l’una non esiste senza l’altra, la relazione di eguaglianza tra queste quantità è estremamente forte e non ammette deroghe ai postulati dati. I postulati stessi sono estremamente spinti e riguardano solo il caso limite dei gas perfetti, quindi occorre molto poco per non avere i corretti risultati.

Ogni volta che esplicitiamo le variabili dell’equazione dei gas perfetti quindi, ognuna farà parte di uno stato a se. Quindi se ad esempio il gas passa per gli stati di equilibrio generici A e B

Tutte le variabili avranno senso se faranno parte del relativo stato di equilibrio, altrimenti, se l’equazione non è risolta, lo stato sarà di non-equilibrio pertanto la trasformazione sarà irreversibile. Nel piano di Clapeyron, se il percorso tra uno stato A e B è di non equilibrio, viene rappresentato solo da una generica linea tratteggiata che congiunge i due state di equilibrio A e B in quanto non saranno note in maniera univoca le variabili termodinamiche.

Allo stesso modo, in trasformazioni in cui non ci sono note le variazioni di quantità di calore o di lavoro saranno di non-equilibrio perchè non ci sarà nota la variazione di energia interna.

Le generiche trasformazioni, per passare attraverso stati di equilibrio, dal punto di vista dell’energia interna dovranno essere calcolate per stati infinitesimi

Le variazioni di Q e W a loro volta possono essere calcolate in funzione delle variabili termodinamiche dell’equazione di stato

Infatti  il lavoro è  la spinta meccanica del cambio di volume e la quantità di calore è direttamente proporzionale alla variazione di temperatura come già visto. L’ultima forma dell’espressione del lavoro W ha senso se si conosce l’espressione della pressione rispetto al volume ed è possibile essenzialmente se la trasformazione è reversibile quindi la pressione è sempre determinata univocamente in ogni punto e si può calcolare l’integrale e se è nota la pressione esterna, cioè se anch’essa varia o è costante. Nel caso in cui la pressione sia costante come nelle condizioni di laboratorio controllate. Allora vale la pressione esterna e anche se la trasformazione non è reversibile il lavoro può essere calcolato facilmente.

Notiamo che se il volume si espande allora ci sarà una variazione verrà effettuato del lavoro dal sistema sull’ambiente e quindi il lavoro W sarà anch’esso positivo (diminuzione di energia interna). Mentre se il volume si comprime, viene fatto dall’esterno sul sistema e W sarà negativo (aumento di energia interna).

esempi di grafico sul lavoro termodinamico
Tramite questa relazione, si evince che il lavoro può essere raffigurato geometricamente nel piano di Clapeyron ed è l’area sottesa dalla curva p = p(V) infatti lo si trova moltiplicando la pressione per la variazione di volume ed e il suo modulo è il risultato dell’integrale sopra riportato. Quindi il lavoro compiuto dal gas è uguale all’area compresa tra la curva e l’asse dei volumi.

Il lavoro è positivo se il ciclo è compiuto in senso orario e negativo quando il senso è antiorario.  Quindi è possibile rappresentare in grafico la variazione del lavoro dato che a seconda del verso del ciclo si può evincere se il lavoro è fatto dal o sul sistema.

Ovviamente a seconda del tipo di trasformazione il lavoro avrà un certo tipo di valore, ad esempio in una trasformazione a volume costante sarà uguale a zero, infatti il grafico rappresenterà un segmento verticale la cui area è banalmente zero. Mentre per una trasformazione a pressione costante sarà l’area di un rettangolo. Quindi il lavoro varia a seconda della trasformazione convalidando la prima legge della termodinamica, infatti quando è presente anche una variazione di quantità di calore, l’unico modo di calcolare il lavoro è l’integrale della variazione di volume o la differenza tra la variazione di energia interna e calore.

In più in una trasformazione ciclica dallo stato di equilibrio A a B e dallo stato B ad A, il lavoro totale è zero così come . Tutto questo se la trasformazione rimane reversibile.

Le formule  della quantità di calore Q possono essere varie a seconda della trasformazione.
Generalmente la variazione di quantità di calore da uno stato di equilbrio ad un altro è rappresentato dall’integrale

Dove c è il calore specifico della massa di gas. Grazie alla relazione della massa con il numero di Avogadro, possiamo trasformare questa formula in base al numero di molecole e al volume del gas infatti dividendo la massa del gas per la massa molecolare del gas otteniamo il numero delle molecole. A sua volta il calore specifico deve essere convertito nell’equivalente calore molare ma a seconda della trasformazione si dovrà usare uno specifico calore molare.

Per una trasformazione isocora infinitesima il volume rimarrà costante e il valore del calore molare avrà un valore costante tipico per questa trasformazione. Il calore molare a volume costante

Per una trasformazione isobara infinitesima la pressione rimarrà costante e il valore del calore molare avrà un valore costante tipico per questa trasformazione. Il calore molare a pressione costante

In queste particolari trasformazioni troviamo alcune relazioni partendo dalla prima legge della termodinamica. Intanto in una trasformazione a volume costante il lavoro W è zero quindi rimane solo variazione di quantità di calore Q

Mentre nella trasformazione isobara e quindi la relazione completa in questa trasformazione sarà:

Come descritto dall’integrale, la variazione di temperatura è la stessa tra i due stati di equilibrio e quindi anche la variazione di energia interna dunque la quantità di calore per una trasformazione a pressione costante sarà maggiore di quella in una trasformazione a volume costante perchè deve controbilanciare il valore negativo del lavoro.

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Pubblicato su Fisica, Termodinamica

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