Termodinamica IX – Equazioni delle trasformazioni termodinamiche

Alla luce delle nuove relazioni ricavate, in particolar modo quelle del valore gamma come rapporto tra i calori molari a pressione e volume costante, possiamo dettagliare meglio le equazioni per le trasformazioni delle 3 leggi note e per altre più generiche.
Nelle Trasformazioni adiabatiche è possibile solo scambiare lavoro meccanico quindi non c’è variazione di quantità di calore e la variazione di energia interna dipenderà solo dal lavoro fatto dal o sul sistema.

Le relazioni alla base di questa trasformazione saranno ovviamente l’equazione di stato, l’equivalente del lavoro nelle variabili termodinamiche e la variazione di energia interna relativa che come abbiamo detto è sempre valida in una trasformazione reversibile.

Effettuando le opportune sostituzioni, otteniamo

Che sono sempre espressioni del lavoro fatto nelle condizioni premesse. Eguagliando otteniamo

Elidiamo i fattori comuni e otteniamo un equazione differenziale con le variabili già separate pronta per l’integrazione tra due stati di equilibrio generici iniziale e finale.

Procediamo separatamente un membro dell’equazione alla volta.
Dividiamo entrambi i membri per e tramite la relazione di Mayer esplicitiamo il valore di R.

Procediamo all’integrazione dei membri separatamente otteniamo due logaritmi

Ricostituiamo l’equazione e per l’eguaglianza dei logaritmi gli argomenti saranno uguali

Quindi

grafico adiabaticaQuesta è una prima forma con la quale si può descrivere una trasformazione adiabatica ma possiamo sostituire i valori di T e V attraverso l’equivalenza di queste variabili con l’equazione di stato.

Queste tre forme sono le cosiddette relazioni di Poisson sulla termodinamica. Con la seconda forma è possibile descrivere questa trasformazione nel piano di Clapeyron (p,V) e dare anche una descrizione geometrica. Questa curva ha un andamento simile alla isoterma ma grazie al fattore gamma ad esponente ha una pendenza maggiore e interseca le curve isoterme. D’altronde se in una trasformazione la temperatura cambia da T1 a T2, il grafico della curva incrocerà le relative isoterme.  Qualitativamente descrive un espansione o compressione troppo rapide rispetto la variazione di pressione e quindi la temperatura, rispettivamente, diminuirà o aumenterà.

Una trasformazione isoterma, come già descritto, descrive una variazione di pressione e volume secondo una curva caratteristica nel piano di Clapeyron. Abbiamo detto anche che avviene spontaneamente durante il passaggio di fase della materia che si mantengono a volume costante ma hanno bisogno di cedere o assorbire una certa quantità di calore dipendente dal tipo di sostanza e dalla massa in gioco, il cosiddetto calore latente.

In una tale trasformazione l’energia interna rimane la stessa perchè la temperatura non varia tra gli stati di equilibrio quindi. per il primo principio, il lavoro è uguale in modulo alla quantità di calore ma di segno opposto. Operativamente, se abbiamo una compressione, verrà fatto lavoro sul sistema che guadagnerebbe energia interna ma viene ceduto calore in egual misura. Viceversa in una espansione, il lavoro viene fatto dal sistema che perderebbe energia interna ma viene guadagnato calore in egual misura.

E di conseguenza il calore Q sarà uguale in modulo ma di segno opposto. Si noti che quest’ultima formula è valida solo per trasformazioni reversibili cioè se istante per istante il sistema si trova in stati di equilibrio termico, meccanico e chimico. Altrimenti occorre usare la generica formula p per dV se si hanno espressioni analitiche della pressione e del volume tra gli stati di iniziali e finali.

In una trasformazione isocora il volume è mantenuto costante e varieranno temperatura e pressione in maniera proporzionale tra loro. La variazione di energia interna è dovuta solo allo scambio di calore perchè il lavoro effettuato sarà zero. I vincoli saranno.

La possibilità di rendere questa trasformazione reversibile è di avere variazioni di stato infinitesime e che tutte siano stati di equilibrio. Quindi la somministrazione o la cessione di calore potrebbe avvenire solo avvicinando al sistema, un corpo con una temperatura diversa di dT per volta. Se invece somministrassimo o assorbissimo calore senza passare per stati di equilibrio, la trasformazione sarebbe irreversibile. Le trasformazioni isocore sul piano di Clapeyron sono rappresentate da un segmento di retta parallelo all’asse della pressione.

In una trasformazione isobara la pressione non varia al variare di temperatura e volume. La temperatura e il volume
varieranno quindi tramite gli scambi di calore e il lavoro. Se verrà somministrato calore allora il volume aumenterà

Se si somministra calore al gas, il suo volume e la sua temperatura aumenteranno e il gas compie lavoro sulla parete mobile. Se si assorbe calore dal gas, volume e temperatura diminuiranno e il gas subisce lavoro. Questo continuo scambio di calore impedisce l’equilibrio termico, quindi la trasformazione sarà irreversibile. Altrimenti occorrono sorgenti di calore che differiscono di dT l’una dall’altra per passare attraverso stati di equilibrio infinitesimi. Le trasformazioni isobare sul piano di Clapeyron sono rappresentate da un segmento di retta parallelo all’asse dei volumi.

A questo punto dovrebbe apparire chiaro come calcolare gli scambi di energia di lavoro e calore durante una trasformazione termodinamica. Il primo principio ci guida bene e le relazioni finora trovate ci danno abbastanza equazioni in modo da aver bisogno di poche variabili per descrivere lo stato di un sistema termodinamico. Presupponendo di avere sempre a che fare con gas dal comportamento ideale, la prima cosa da fare è capire se una trasformazione sia reversibile o meno, tramite l’identificazione degli stati di transizione.
In caso di una trasformazione reversibile possiamo usare l’equazione di stato. Come riprova possiamo facilmente calcolare il lavoro tramite le formule valide e per via geometrica sul piano di Clapeyron.

Una qualsiasi trasformazione generica dovrà seguire comunque il primo principio quindi il bilancio dell’energia interna potrà sempre servire per una prima valutazione.

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Pubblicato su Fisica, Termodinamica
2 comments on “Termodinamica IX – Equazioni delle trasformazioni termodinamiche
  1. s3lvatico ha detto:

    Sulle adiabatiche si può snellire parecchio tutto l’accroccone matematico per arrivare alla prima eq. diff.

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