Termodinamica VIII – Energia interna nei gas perfetti

Abbiamo detto in un esempio precedente che “la variazione di temperatura è la stessa tra i due stati di equilibrio e quindi anche la variazione di energia interna“. Questo può sembrare intuitivo

d’altronde in una trasformazione reversibile, facciamo variare due variabili e la terza rimane costante

ma può rimanere il dubbio che possa quindi dipendere anche da variazioni di altre variabili termodinamiche anzichè solo dalla temperatura . Grazie alle relazioni trovate possiamo dire che il calore che bisogna cedere a una mole di gas perfetto per fare aumentare la sua temperatura di un grado è maggiore a pressione costante piuttosto che in una trasformazione a volume costante perchè a pressione costante il gas compie anche lavoro. Questa proporzione viene usata in un altro esperimento di Joule detto dell’espansione libera.

Un contenitore diatermico con all’interno due camere separate da un sottile diaframma ha una camera riempita di gas ad una temperatura T mentre nell’altra c’è il vuoto quindi p=0. Il contenitore è immerso in un bagno termico di un calorimetro alla stessa temperatura T. Quando il diaframma si rompe, il gas si espande liberamente in tutto lo spazio delle 2 camere. Non ci sono forze che agiscono sul gas quindi W=0. Sperimentalmente si trova che alla fine del processo, quando il gas ha riempito le due camere, non ci sarà variazione di temperatura e quindi sarà rimasta alla temperatura di equilibrio iniziale T.

Non abbiamo scambio di calore, e di lavoro anche se la pressione e il volume sono cambiati quindi e un espansione libera è equivalente ad una curva isoterma discendente sul piano di Clapeyron perchè il volume aumenta e la pressione diminuisce seguendo la legge tra uno stato di equilibrio A ad uno B quindi l’energia interna deve essere funzione solo della temperatura perchè non ha subito mutamenti alla variazione di volume e pressione. Infatti avremo una variazione di energia interna solo per le trasformazioni in cui la temperatura cambia come la isobara e la isocora.

Poniamo una trasformazione isocora tra gli stati di equilibrio   A -> B e una isoterma  B -> C,  la variazione di energia interna dipenderà solo dalla trasformazione isocora quindi possiamo calcolare la variazione di energia interna in modo molto semplice.

Dipendendo solo da questi due tipi di trasformazioni a pressione costante e volume costante possiamo stringere ancora di più la nostra attenzione sugli ultimi fattori che concorrono, cioè i calori molari specifici a pressione e volume costante.

Nella isocora W=0 e delta U = Q cioè il calore scambiato a volume costante.

Quindi

Per un gas con comportamento ideale, che subisce una trasformazione isocora tra stati di equilibrio, il primo principio può essere scritto in maniera più estesa come segue

Queste possono essere ulteriori forme del primo principio con l’applicazione dei calori molari specifici, in questo caso a volume costante.

Se estendiamo questa forma alle trasformazioni di un gas ideale a pressione costante, otteniamo la cosiddetta Relazione di Mayer. Partendo dalla generica trasformazione a pressione costante e sostituendo il valore trovato di p per dV uguale a  n per R per dT otteniamo un equazione dove possiamo elidere n e dT e rimane solo la relazione tra i calori molari specifici.

Alla fine abbiamo diviso algebricamente per tutti i fattori comuni e i valori di n e dT sono pari a 1 e la trasformazione è a pressione costante quindi . Da quest’ultima considerazione si evince che la costante dei gas ideali R quindi è equivalente al lavoro W fatto in una trasformazione a pressione costante affinchè una mole aumenti la sua temperatura di 1 grado Kelvin (o Celsius). Altresì anche il calore molare specifico a pressione costante è funzione della temperatura perchè non cambia solo se questa rimane costante come per il calore molare specifico a volume costante.

I valori dei calori molari specifici, di un gas con comportamento ideale, assumono dunque una importanza maggiore visti in questo modo, in particolare il loro rapporto proprio gamma è anch’esso funzione della temperatura ed è praticamente costante. Sperimentalmente varia essenzialmente se il gas ideale è di tipo monoatomico, biatomico o con più atomi cioè dalla sua forma molecolare.

Il rapporto gamma viene calcolato in frazioni di R rispetto i calori molari.
Per un gas monoatomico:

Per un gas biatomico:

E’ interessante notare di come i valori del rapporto gamma possano rappresentare i gradi di libertà delle molecole di gas che aumentano con l’aumentare degli atomi. Questa relazione verrà approfondita nella parte delle interazioni microscopiche della teoria cinetica dei gas.

Riepilogando le equazioni fondamentali che abbiamo trovato finora:

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Pubblicato su Fisica, Termodinamica

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