Termodinamica X – Composizione di trasformazioni

Le singole descrizioni delle trasformazioni ci hanno dato tutte le equazioni che quantificano i sistemi termodinamici macroscopicamente. Quantitativamente una serie di trasformazioni non sono altro che la somma delle singole. In particolare un ciclo termodinamico reversibile i cui stati passano attraverso punti di equilibrio è descritto da una serie di trasformazioni che sul piano di Clapeyron sono rappresentate da un area chiusa i cui stati iniziali coincidono con quelli finali. Quindi se in una somma di trasformazioni reversibili si torna allo stesso punto, la temperatura iniziale sarà uguale a quella finale e l’energia interna non sarà variata.

Un sistema termodinamico è definito una macchina termica se viene usato del calore per produrre lavoro o, viceversa, se viene ceduto calore tramite un lavoro fatto sul sistema. Nel primo caso si parlerà di ciclo termico, nel secondo caso di ciclo frigorifero. Lo scambio di calore e lavoro totali saranno la somma dei singoli Q e W delle trasformazioni.

\\ \Delta Q =\Delta Q_{A->Z}+Q_{A->Z}\\ \Delta W =\Delta W_{A->Z}+W_{A->Z}

Oppure si possono calcolare sommando i lavori e quantità di calore assorbiti dal sistema e ceduti dal sistema cioè li si ordina per il loro “segno”
Nel caso di un ciclo chiuso e reversibile, il calore scambiato totale è uguale in modulo e opposto di segno al lavoro totale.
Simili sistemi ci ricordano bene qualsiasi tipo di motore che produce movimento attraverso una fonte di calore. Un elemento importantissimo in questo tipo di macchine è proprio il rendimento termico ossia il rapporto tra il lavoro fornito e la quantità di calore assorbito

\eta =\frac{W}{Q_A}=\frac{Q_A+Q_C}{Q_A}=\frac{Q_A}{Q_A}+\frac{Q_C}{Q_A}=1+\frac{Q_C}{Q_A}=1-\frac{\left | Q_C \right |}{Q_A}

Dove Qa è il calore assorbito e Qc quello ceduto che ha segno negativo. Il rendimento può anche essere visto come la percentuale di calore assorbito che viene trasformato in lavoro. Un rapporto pari a 1 darà il rendimento massimo, ossia che tutta la quantità di calore viene trasformata in lavoro. Nota: si assume che la fonte del calore abbia temperatura maggiore del sistema e quindi il calore ceduto non può essere restituito a questa sorgente bensì ad un altra. Dunque occorrono almeno 2 sistemi “adiacenti” uno da cui prendere il calore e l’altro cui cederlo.

Un ciclo completo che ci da informazioni generali qualitative e quantitative sulle proprietà di questo insieme di trasformazioni è il Ciclo di Carnot. Esso è formato da 4 trasformazioni reversibili attraverso 4 punti di stati di equilibrio. Supponendo un ciclo di Carnot che attraversa gli stati A, B, C, D le trasformazioni saranno.

schema ciclo di Carnot

Le azioni del sistema in un ciclo di Carnot

1) Un espansione isoterma da A->B alla temperatura iniziale T:

Il gas viene mantenuto nella temperatura di equilibrio T dalla prima fonte di calore e per essere considerata reversibile dovrà passare per stati di equilibrio infinitesimi dati da diminuzioni di pressione dp e aumenti di volume dV. Deve essere quindi somministrata una quantità di calore Q (A->B) e per il primo principio, il sistema deve compiere lavoro verso l’esterno in modo che l’energia interna rimanga costante come la temperatura. Quindi il sistema passa dallo stato p_A, \, V_A, \, T_A allo stato p_B, \, V_B, \, T_A La quantità di calore assorbita sarà quella prevista per l’isoterma reversibile descritta dall’equazione di stato e opposta al lavoro fatto dal sistema.

\inline \Delta Q = n\,R\,T \ln\left\(\frac{V_B}{V_A}\right\)= W_{A->B}

2) Un espansione adiabatica da B->C che riduce la temperatura a T2
La temperatura diminuisce a causa dell’espansione di volume e alla diminuzione della pressione. Un tale processo deve avvenire molto velocemente per evitare lo scambio di calore con l’ambiente e approssimare la trasformazione a una adiabatica reversibile. Il sistema si porta dalle coordinate p_B,\,V_B,\,T a p_C,\,V_C,\,T_C in cui T_C < T_A descritta da p_B\,V_B^{\gamma}=p_C\,V_C^{\gamma} e il lavoro fatto dal gas verso l’esterno sarà
\\W_{(B->C)}=n\,c_V(\Delta T)

3) Una compressione isoterma da C->D Che mantiene la temperatura a T2: Il processo è opposto alla precedente isoterma. Abbiamo una cessione di calore (negativa) e una diminuzione del volume quindi un lavoro fatto sul sistema uguale in modulo e opposto nel verso.
\\Q_{(C->D)}=n\,R\,T\left(\frac{V_B}{V_A} \right )= W_{(C->D)}

grafico ciclo Carnot
4) Una compressione adiabatica da D->A che riporta la temperatura a quella iniziale T. Il processo è opposto alla precedente adiabatica.
\\ p_D\,V_D^{\gamma}=p_A\,V_A^{\gamma}\\\\ T_C\,V_D^{(\gamma -1)}=T_A\,V_A^{(\gamma -1)}\\\\ \Delta W_{(D->A)} = -\Delta W_{(B->C)}= -\Delta U_{(D->A)}=n\,c_V\,\Delta T
Ora possiamo sommare le quantità di calore e lavoro scambiate nei 4 stati di equilibrio del ciclo reversibile.
\\ \Delta Q_{(A,B,C,D)}= \Delta Q_{(A->B)}+\Delta Q_{(C->D)}= \Delta W_{(A,B,C,D)}\\ \Delta W_{(A,B,C,D)}= \Delta W_{(A->B)}\,+\,\Delta W_{(B->C)}\,+\,\Delta W_{(C->D)}\,+\,\Delta W_{(D->A)}=\\ \Delta W_{(A->B)}\,+\,\Delta W_{(C->D)}

Che è esattamente l’area del ciclo sul piano di Clapeyron cioè  la somma algebrica delle aree dei due lavori compiuti nella espansione e compressione adiabatica. Questa formula ci permette di trovare il lavoro effettuato in tutto il ciclo senza per forza dover passare dalle coordinate termodinamiche e l’equazione di stato.

Il rendimento eta sarà il rapporto tra il calore ceduto e quello assorbito durante le isoterme.

\\ \eta=1+ \frac{Q_C}{Q_A}=1+ \frac {n\,r\,R\,T_C\,\ln \frac{V_D}{V_C}}{n\,r\,R\,T_A\,\ln \frac{V_B}{V_A}}=\frac {T_C\,\ln \frac{V_D}{V_C}}{T_A\,\ln \frac{V_B}{V_A}}
\\ \Rightarrow
\left\(\frac{V_B}{V_A}\right\)^{(\gamma-1)}=\left\(\frac{V_C}{V_D}\right\)^{(\gamma-1)}
$latex\\ \Rightarrow$
\frac{V_B}{V_A}=\frac{V_C}{V_D}
$latex\\ \Rightarrow$
{\eta=1 - \frac{T_1}{T_2}}
Il rendimento può essere quindi descritto e dipende semplicemente attraverso il rapporto delle temperature delle due sorgenti di scambio piuttosto che con le altre variabili termodinamiche. Nel caso specifico di un gas ideale, dipende solo dalle temperature a cui avvengono le due trasformazioni isoterme.

Notiamo alcune caratteristiche di queste formule del rendimento di un ciclo termodinamico.
Poichè T1B è maggiore di quella tra gli stati C->D
Notiamo come tutto il calore residuo venga trasformato in energia interna o, in un caso reale, anche disperso e dissipato.

Riassumendo in termini di formule.
\\ T_1<T_2 \\ \\ \frac{V_A}{V_B}=\frac{V_C}{C_D}\\ \\ \Delta Q_{(A->B)}>\left |\Delta Q_{(C->D)}\right |\\ \\ \Delta Q_{(A->B)}@plus;\Delta Q_{(C->D)}>0\\ \\ W=\Delta Q_{(A->B)}@plus;\Delta Q_{(C->D)}
Un altro tipo di ciclo è il ciclo frigorifero. Diversamente dal ciclo di Carnot, nel quale si effettuano scambi di calore per effettuare lavoro meccanico, un ciclo frigorifero, fornisce lavoro meccanico per sottrarre o far cedere quantità di calore al sistema. Il tipico comportamento di un tale ciclo, consta nel
Il sistema assorbe la quantità di calore Q1 dalla sorgente con temperatura minore, assorbe lavoro W1 e cede il calore Q2 alla sorgente a temperatura maggiore. Per fare si che si possa cedere calore ad una sorgente più calda, la quantità di calore ceduta dal sistema alle sorgenti più calde è sempre maggiore di quella assorbita.
Nel caso dei cicli frigoriferi, viene denominata xi l’efficienza della macchina frigorifera ed è definita come il rapporto tra il calore e il lavoro assorbiti.
Un adeguato esempio è rappresentato da un ciclo di Carnot al contrario.
Riassumiamo
\\ \left | Q_2 \right |>Q_1\\ \\ \xi =\frac{Q_1}{\left | W \right |} =\frac{Q_1}{\left | Q_2@plus;Q_1 \right |}= \\ \\ \frac{n\,R\,T_1 \ln(V_C/V_D)}{n\,R\,T_2 \ln(V_B/V_A)-n\,R\,T_1 \ln(V_C/V_D)}= \\ \\ \frac{T_1}{T_2-T_1}

Quindi
Q_1@plus;\left | W \right |=\left | Q_2 \right |" target="_blank"><img title="Q_1+\left | W \right |=\left | Q_2 \right |
Anche qua, siamo risaliti allo stesso modo ad una relazione dell'efficienza che dipende solo dalle variazioni di temperatura del sistema e anche qua vale, come per il ciclo di Carnot
\frac {V_B}{V_A}=\frac {V_C}{V_D}

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Pubblicato su Fisica, Termodinamica

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