Energia in un moto armonico

Abbiamo visto la forma matematica di un moto armonico semplice convalidata dalle osservazioni sperimentali di posizione velocità e accelerazione. Questo ci ha dato una discreta idea del comportamento di questi moti e di una analisi qualitativa sui comportamenti relativi delle variabili in gioco. Se ci si riflette si potrebbero fare moltissimi altri esempi di eventi riconducibili alle oscillazioni armoniche semplici ma non troveremmo nulla di sostanzialmente nuovo.
Per trovare nuove relazioni che ci aiutino ed espandano i concetti sulle oscillazioni introduciamo anche qui uno dei principi cardine della dinamica e di tutta la fisica, la conservazione dell’energia totale del sistema.
Come sappiamo, in un sistema conservativo, l’energia totale rimane costante, viene continuamente trasformata in varie forme; che sia cinetica, potenziale o calore, la somma di queste energie rimane costante in ogni momento. E’ lecito aspettarsi che nell’approssimazione di un oscillazione con ampiezza costante, l’energia totale del sistema rimanga costante e si comporti similarmente ad un sistema conservativo.
L’energia totale di una molla compressa o estesa si trova facilmente ed è assimilabile all’energia potenziale di un corpo in caduta da una certa altezza.
\\ F_x = -k x \\ \\ dE = F_x \dot dx = -k x \cdot dx \\ \\ E= \int_{0}^{x} kx \cdot dx = \frac {1}{2}kx^2 \\ \\ dU= - F_x \cdot ds = - \frac {1}{2}kx^2
Quindi dato che lo spostamento x è rappresentato dalla ampiezza massima A avremo
\\ E_{tot}= \frac {1}{2}kA^2
che rappresenta l’equivalente della energia potenziale quando la molla ha raggiunto l’ampiezza desiderata prima di essere lasciata libera di oscillare.
Quando il corpo vincolato alla molla ritorna nel punto di origine l’energia iniziale è zero (ampiezza zero) ma la velocità è massima che rappresenterà l’energia cinetica massima. La somma di queste quantità rimane costante in ogni istante, all’aumentare dell’una corrisponderà la diminuzione dell’altra in un andamento sinusoidale.
\\ E_{tot} = \frac{1}{2}kx^2 + \frac {1}{2}m v^2= costante
\\ U = \frac{1}{2}k(A \ cos (\omega t + \delta))^2 \\ \\ U = \frac{1}{2}k\ A^2 \ cos^2 (\omega t + \delta) \\ \\ K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (-A \ \omega \ sin (\omega t +\delta))^2 \\ \\ \omega^2= \frac{k}{m} \\ \\ K = \frac{1}{2} A^2 \ k \ sin^2 (\omega t +\delta)
Dunque la somma dell’energia totale darà
\\ E_{tot} = U + K = \frac{1}{2}k\ A^2 \ cos^2 (\omega t + \delta) + \frac{1}{2} A^2 \ k \ sin^2 (\omega t +\delta)
che possiamo semplificare grazie alla relazione fondamentale della trigonometria in
\\ E_{tot} = \frac{1}{2}k\ A^2" title="\\ E_{tot} = \frac{1}{2}k\ A^2
L’energia potenziale cinetica, come abbiamo detto, dovranno dunque variare in funzione dell’energia totale rispetto al quadrato della loro funzione trigonometrica
\\ U = E_{tot}\ cos^2(\omega t + \delta) \\ K = E_{tot}\ sin^2(\omega t + \delta)" title="\\ U = E_{tot}\ cos^2(\omega t + \delta) \\ K = E_{tot}\ sin^2(\omega t + \delta)
Anche qui le equazioni ricavate ci danno dei risultati assolutamente compatibili con le osservazioni sperimentali. Il comportamento dell’energia è qualitativamente simile a quello di un sistema conservativo anche se le energie variano tra loro con un andamento sinusoidale piuttosto che parabolico come nel caso di un corpo in caduta libera.

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