Oscillazioni e onde

Iniziamo ora un capitolo della fisica che in didattica viene spesso usato come trait d’union tra i corsi di fisica I e II, tra la meccanica e i campi elettromagnetici. Le oscillazioni e le onde.

Le oscillazioni e le onde sono ovunque, sebbene non in modo sempre evidente come le onde del mare o come una corda libera di vibrare, sono parte integrante dei meccanismi che regolano l’Universo fino agli ordini di grandezza più estremi. Attraverso le onde percepiamo suoni e colori, sono il meccanismo principale di trasmissione dell’informazione in un mezzo e, più in generale, esse sono il metodo in cui l’energia si propaga nello spazio.

In generale, un’oscillazione avviene quando un sistema in equilibrio stabile viene perturbato da una forza.Caratteristica distintiva delle oscillazioni è la periodicità, vale a dire che la perturbazione si ripete in intervalli di tempo regolari. Il classico esempio di oscillazione, spesso riportato nei libri è il pendolo, che cambia il suo stato di moto periodicamente e continuamente trasformando la propria energia cinetica in energia potenziale e viceversa a seconda della posizione del grave. Nonostante l’ampiezza di oscillazione del pendolo si riduca, esso impiegherà sempre lo stesso tempo per percorrere lo spazio tra le estremità del suo moto. Questo tempo costante viene detto periodo ed è solitamente espresso con il simbolo T
Questo fenomeno fu scoperto da Galieo Galilei che gli diede il nome di isocronia del pendolo. Tale periodicità è chiaramente l’elemento fondamentale per distinguere questo tipo di eventi fisici. Come è noto dalla meccanica, è la forza di gravità che da al pendolo la componente verticale del moto e lo farà tendere alla posizione di equilibrio. E’ proprio così che viene data una definizione di oscillazione fisica: un moto periodico attorno a un punto di equilibrio o più precisamente una variazione periodica di stato di moto attorno a un punto di equilibrio.

Si possono fare altri semplici esempi che hanno le stesse caratteristiche del pendolo e che ce ne mostrino anche altre: pizzicare una corda tesa o una corda di chitarra, ad esempio, produce un oscillazione che si ripercuote su tutta la corda. Come ci è noto dall’esperienza comune, l’ampiezza maggiore dell’oscillazione sarà localizzata nel punto in cui è stata pizzicata. Anche qui la corda oscillerà tra i due estremi sempre nello stesso intervallo di tempo. In questo caso la forza che condiziona la corda a tornare al punto di equilibrio è la sua tensione, anziché la gravità come nel caso del pendolo. Nel caso di corde particolari come quelle degli strumenti musicali, possiamo ascoltare l’oscillazione. Ciò accade perché l’oscillazione si trasmette nell’aria circostante e se questa avviene tra le 20 e le 20 mila volte al secondo, possiamo udirla. Il suono trasmesso ci permette di distinguere con i nostri sensi un’altra caratteristiche fondamentale delle oscillazioni: la frequenza, solitamente espressa con il simbolo \nu

La relazione tra periodo e frequenza è abbastanza evidente. Se il periodo è il tempo costante che un oscillazione impiega e la frequenza è il numero di ripetizioni dell’oscillazione in quel tempo, la frequenza sarà l’inverso del periodo quindi

\frac{1}{T}

Arriviamo alla terza caratteristica fondamentale delle oscillazioni. L’abbiamo avuta sott’occhio finora perché sembrava non avere una particolare importanza, specie nel caso del pendolo. Nel caso della corda però possiamo notare che se modifichiamo la distanza di partenza dal punto di equilibrio, il suono prodotto cambia, diventa più “forte” e dura più a lungo. La frequenza e il periodo non cambiano perché sono distintivi della tensione e della lunghezza della corda ma l’ampiezza dell’oscillazione ha modificato qualcos’altro. Dato che il percorso dell’oscillazione è aumentato, per effettuarlo sempre nello stesso tempo, deve essere aumentata anche la velocità e quindi l’energia cinetica della corda che si trasmette nell’aria. Questa differenza viene avvertita in pratica come un cambiamento di volume nel suono, esattamente lo stesso che avviene quando cambiamo il volume dell’audio del televisore o di qualsiasi altro trasmettitore di suoni.

Abbiamo detto che l’oscillazione viene definita come come una variazione periodica di stato di moto attorno a un punto di equilibrio, ma cosa ne è stato delle onde ? Nel parlare di oscillazioni e onde si possono spesso fare equivoci perché la differenza tra i due concetti è molto sottile ma importantissima. Spesso parliamo delle onde che si formano in una vasca piena di liquido quando vi viene gettato un sasso o una goccia d’acqua. Sappiamo bene che si formano delle onde circolari e concentriche che si estendono attorno al punto in cui è avvenuta la perturbazione. Queste onde sono il risultato dell’improvviso mutamento. Quando il sasso affonda, sposta dell’acqua verso il basso. Il liquido essendo incomprimibile difatto si abbassa localmente per un brevissimo tempo quindi il resto dell’acqua attorno deve innalzarsi. Questo meccanismo non avviene istantaneamente ma viene trasmesso e questa trasmissione avviene proprio tramite le onde che si formano. Alla fine il livello medio del liquido si sarà innalzato a seconda del volume dell’oggetto gettato.
Le onde quindi si possono definire come il metodo di propagazione dell’energia dovuta alla oscillazione attraverso il mezzo fisico in questo caso il liquido della vasca.

Possiamo fare un’altro esempio per rinforzare questo concetto e far comprendere meglio la strettissima relazione tra onde e propagazione dell’energia. Stavolta non useremo una vasca ma un tavolo liscio e piano sul quale verseremo un pò di liquido fino a formare una sottilissima patina. Una volta che il liquido si sarà fermato versiamo con un contagocce una goccia d’acqua e vedremo formarsi nuovamente delle onde concentriche. Stavolta non possiamo di certo dire che il livello dell’acqua si sia abbassato anche solo localmente ma le onde si sono nuovamente rivelate non solo per trasmettere al resto del liquido il nuovo volume ma anche per l’urto della goccia sul tavolo. Benché non si possa notare a occhio nudo anche i solidi trasmettono le perturbazioni attraverso le onde, la differenza con i liquidi è che i legami tra i costituenti del solido sono molto più forti e organizzati e l’energia dell’urto si trasmette molto più velocemente ma sempre in forma di onde.
Abbiamo quindi visto come le oscillazioni producano le onde nell’aria, nei liquidi e nei solidi ma che è anche vero il contrario, ossia che un’onda, una trasmissione di energia nel mezzo, produce oscillazioni.

Abbiamo quindi visto esempi di onde e oscillazioni collegati alla meccanica di corpi che ben conosciamo. Questo genere di onde e oscillazioni vengono infatti definite onde e oscillazioni meccaniche.
In particolare conosciamo la legge che regola le forze nel caso di oscillazione di un corpo vincolato ad una molla, la legge di Hooke.
F_x = -kx
La forza di un corpo vincolato ad una molla è sempre opposta alla direzione del vettore del moto e inversamente proporzionale rispetto ad una costante rappresentata dalla costante elastica della molla.
Analizzando la legge di Hooke per trovare la sua relazione con il tempo troviamo che l’accelerazione istante per istante è una soluzione dell’equazione differenziale così ricavata.
\\ F_x = -kx = ma \\ ma = m \frac{d^2x}{d^2t} \\ a= - (\frac{k}{m}) \\ \\ a= - \frac{k}{m}= \frac{d^2x}{d^2t}

Ne consegue che l’accelerazione è proporzionale alla posizione ma opposta rispetto la direzione, quindi cambia di segno attraverso le derivate prime e seconde.
Queste sono caratteristiche generali di un moto armonico semplice e possono difatti essere usate per identificare i moti di sistemi.
Nel caso in cui l’accelerazione di un oggetto è proporzionale alla sua posizione rispetto all’origine e opposta rispetto alla direzione del suo vettore, l’oggetto si muoverà di un moto armonico semplice.
Se spostiamo un oggetto dalla sua posizione di equilibrio e lo lasciamo libero, esso oscillerà avanti e indietro rispetto la sua posizione di equilibrio. Un oscillazione completa si verifica cioè quando il corpo ritorna in una posizione stabilita, che essa sia il suo punto di origine o uno dei suoi estremi. Il tempo intercorso in una oscillazione completa viene chiamato Periodo. Contrapposta al periodo abbiamo la frequenza che rappresenta il numero di oscillazioni nell’unità di tempo. Dunque la frequenza è reciproca del periodo.
\\ f= 1/T
L’unità di misura della frequenza è dunque un tempo “alla meno uno” e viene chiamato Hertz o abbreviato Hz.

Abbiamo visto brevemente l’equazione differenziale generale di un corpo posto in oscillazione periodica. Sperimentalmente si trova che per un oggetto oscillante, il posizionamento x in funzione del tempo t in un percorso di oscillazione lungo A può essere rappresentato dalla seguente funzione.
x = A \cdot cos(\omega t + \delta)
Che descrive una curva sinusoidale di ampiezza A, omega rappresenta la frequenza angolare e delta lo spostamento iniziale rispetto all’origine. Il termine tra parentesi è detto fase del moto. Durante un oscillazione completa la fase aumenta di 2 pi proprio come se il corpo avesse compiuto un giro completo di una circonferenza e fosse tornato nel punto iniziale con la stessa posizione direzione e velocità. Possiamo quindi scrivere così, che in un periodo T il corpo ha compiuto un oscillazione completa di 2 pi
\\ \omega(t+T)+\delta= 2\pi + \omega t + \delta
e quindi
\\ \omega t = 2 \pi \\ \\ T= \frac{2\pi}{\omega}
di conseguenza la frequenza che è l’inverso del periodo sarà
\\ f= \frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}
Come già detto, omega, viene detto frequenza angolare ed è espresso in radianti per secondo come la velocità angolare e viene calcolato in base all’equazione precedente
\\ f= \frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \\ \\ \omega = 2\pi f =\frac {2 \pi}{T}
Tramite le formule del periodo e della frequenza, possiamo sostituire omega nell’equazione del moto armonico e a seconda della grandezza della fase delta, possiamo trovare più comodo usare la funzione seno piuttosto che coseno, la curva è identica, solo spostata di una frazione di pi.
\\ x= A \cdot cos (\omega t +\delta)= A \cdot cos(2\pi f t+ \delta)= A \cdot cos(\frac {2\pi t}{T}+\delta)
e nel caso delta fosse uguale a pi/2 o tre mezzi di pi
\\ x= A \cdot cos (\omega t +\delta)= A \cdot sin (\omega t) \\ se \\ \delta= \frac{3\pi}{2} \ \ oppure \ \ \delta= \frac{\pi}{2}

Continuiamo l’analisi dell’equazione generale per provare che una valutazione qualitativa dell’equazione è totalmente compatibile con le osservazioni sperimentali sui moti armonici.
Deriviamo una volta l’equazione della posizione rispetto al tempo per trovare il vettore velocità
\\ \frac{dx}{dt}= -A \cdot \omega \cdot sin(\omega t + \delta) = A \cdot \omega \cdot cos (\omega t + \delta + \frac{\pi}{2})
La fase della velocità differisce da quella della posizione per pi mezzi radianti, cioé 90 gradi. Infatti quando il coseno ha il valore di +1 o -1 il seno è zero e quando la posizione del corpo è agli estremi, la velocità è zero. Viceversa quando il seno è +1 o -1 allora la velocità è massima e il corpo si trova nella posizione d’origine.
Deriviamo ulteriormente l’equazione per trovare l’accelerazione
\\ a = \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac {dv}{dt}= -A \cdot \omega ^2 \cdot cos (\omega t + \delta)
Notiamo che una parte dell’equazione è equivalente alla formula della posizione quindi
\\ a = -A \cdot \omega ^2 \cdot x
Troviamo ulteriori relazioni confrontando quest’ultima equazione con la legge di Hooke che regola esattamente questo tipo di moti
\\ a = \omega ^2 \cdot x \\ F_x = ma_x = -kx \rightarrow a = -\frac{k}{m}x \\ \frac{k}{m} = \omega ^2 \\ f= \frac {\omega}{2\pi}= \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \\ \\ T= \frac {2\pi}{\omega}= 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
Anche queste formule rispettano le osservazioni sperimentali. Ad esempio quando k è molto grande, nel caso di una molla molto dura, la frequenza sarà alta in quanto il corpo oscillerà molto velocemente.
la forma ridotta dell’accelerazione è una soluzione particolare dell’equazione differenziale generale proposta all’inizio. Abbiamo difatto inserito le condizioni particolari, la legge di Hooke.
Riassumendo abbiamo dunque
\\ x = A \ cos \ \omega t \\ v = - \omega A \ sin \ \omega t \\ a = - \omega^2 A \ cos \ \omega t
Come abbiamo detto all’inizio tra gli esempi, anche la rappresentazione di una proiezione di un moto circolare nel tempo, ci da un moto armonico corrispondente a una sinusoide. Possiamo considerare il fatto che ad uno spostamento angolare theta in un moto circolare, corrisponderebbe un equivalente tratto x compiuto dall’oscillazione.
Dunque l’angolo theta corrisponderebbe in radianti all’argomento della funzione trigonometrica
\\ \theta = \omega t + \delta \\ x =A \ cos (\omega t + \delta) = A \ cos \ \theta
Con questa prova possiamo quindi affermare che la proiezione su un asse di una particella che si muova di moto circolare uniforme è un moto armonico semplice.

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3 comments on “Oscillazioni e onde
  1. Badev ha detto:

    sei matto, o sei poeta?

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