Ulteriori moti armonici

Nonostante le informazioni che abbiamo trovato sui moti armonici semplici, le quali ci aiutano a comprendere come avvengono le oscillazioni, possiamo applicare queste formule solo in casi molto semplici.
Un oscillazione di un pendolo ad esempio seguirebbe una legge differente che può solo essere approssimata a quella di Hooke e per oscillazioni il cui valore del seno dell’angolo massimo sia molto simile al valore dell’angolo stesso, quindi particolarmente piccolo. Infatti lo spostamento di un pendolo dipende dal seno della posizione angolare piuttosto che dello spostamento lineare o del semplice angolo. Se volessimo trovare l’equazione adatta a questo tipo di moto (allo stesso modo delle molle) avremmo delle difficoltà nel calcolare le possibili soluzioni della relativa equazione differenziale. Il calcolo si complicherebbe parecchio.

\\ \sum F_t = -mg \sin \theta = m \frac{d^2 s}{d t^2} \\ \\ a= \frac{d^2 s}{d t^2} = -g \sin \theta = - g \sin \frac {s}{L}
Ma, come già detto, nel caso di oscillazioni piccole, se lo spostamento s è molto inferiore alla lunghezza del filo L e l’angolo theta = s/L è piccolo abbastanza da essere simile al suo stesso seno, possiamo approssimare l’equazione alla seguente, rimuovendo la funzione trigonometrica
\\ \sin \theta \simeq \theta \\ \\ a= \frac{d^2 s}{d t^2} = -g \sin \theta \simeq - \frac {g}{L} s
In questo modo l’accelerazione è proporzionale alla posizione e di verso contrario, cambiano solo le variabili della legge, le quali anziché essere k e m sono g e l quindi
\\ \frac{d^2 s}{dt^2} = - \omega^2 s \\ \\ \omega^2 = \frac{g}{l}
e il periodo dipenderà essenzialmente dalla lunghezza del filo del pendolo, considerando l’accelerazione di gravità sempre costante. Da notare che la massa in questo tipo di pendolo è ininfluente nel suo moto e dall’ampiezza dell’oscillazione (limitazione sugli angoli a parte).
\\ T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt \frac{L}{g} \\ \\ f = \frac{\omega} {2 \pi}= \frac {1}{2 \pi} \sqrt \frac{g}{L}
Anche queste formule trovano riscontro nella realtà. Più è lunga la corda che vincola il pendolo e maggiore sarà il periodo di oscillazione.
Possiamo facilmente modificare l’equazione del pendolo per stabilire l’angolo del pendolo rispetto al tempo
\\ s = L \theta \\ \\ \frac{d^2 (L \theta)}{d t^2} = -g \sin \theta \\ \\ \frac{d^2 \theta}{d t^2} = - \frac {g}{L} \sin \theta \\ \\ \sin \theta \simeq \theta \\ \\ \frac{d^2 \theta}{d t^2} = - \frac {g}{L} \theta = -\omega ^2 \theta \\ \\ \theta = \theta_0 \cos (\omega t + \delta)
Prendiamo in esame velocemente altri due tipi di moto oscillatorio, il pendolo fisico e il pendolo di torsione.
Il pendolo fisico è costituito da un corpo rigido esteso vincolato in un suo punto e libero di oscillare.
In questo caso anziché una forza lineare useremo il momento di torsione tau equivalente al momento d’inerzia del corpo moltiplicato l’accelerazione angolare che a sua volta ci da una forma differenziale che possiamo usare per trovare l’equazione del suo moto
\\ \tau = I \alpha = I \frac{d^2 \theta}{d t^2} \\ \\ -MgD \sin \theta = I \frac{d^2 \theta}{d t^2} \\ \\ \frac{d^2 \theta}{d t^2} = - \frac {MgD}{I} \sin \theta
Possiamo subito vedere che per un pendolo semplice D = L e I = ML^2 che renderebbe l’equazione uguale a quella trovata precedentemente. Questo ci da subito un indizio che gli elementi usati sono corretti.
Approssimando anche qua il seno di theta a theta per angoli piccoli otteniamo
\\ \frac{d^2 \theta}{d t^2} = - \frac {MgD}{I} \theta = - \omega^2 \theta \\ \\ \omega = \sqrt {\frac {MgD}{I}} \\ \\T = \frac{2 \pi}{\omega}= 2 \pi \sqrt {\frac {I}{MgD}}
A sua volta possiamo stabilire il momento di inerzia da queste relazioni, in un modo molto più semplice di quello stabilito dalla sua stessa definizione.
I= \frac{MgDT^2}{4 \pi^2}
Per ultimo consideriamo il pendolo di torsione. In questo tipo di pendolo è la corda che regge il peso a ruotare su se stessa torcendosi. Il momento torcente risultante permette al corpo di ruotare di un angolo proporzionalmente al coefficiente di torsione della corda.
\\ \tau = - k \theta = I \frac {d^2\theta}{dt^2} \\ \\ -\frac{k \theta}{I}= \frac {d^2\theta}{dt^2}= -\omega ^2 \theta \\ \\ \omega = \sqrt{\frac{k}{I}} \\ \\ T= 2 \pi \sqrt{\frac{I}{k}}
In questo caso non abbiamo bisogno di approssimazioni per angoli piccoli, il pendolo di torsione è del tutto simile alla legge di Hooke ma in ambito rotazionale. Il moto di un pendolo di torsione è un oscillatore armonico semplice finch* il momento torcente è proporzionale alla rotazione angolare e finché la corta non cambi il suo coefficiente di torsione.
Abbiamo visto alcuni tipi di oscillatori armonici, ognuno con delle specifiche caratteristiche ma tutti legati tra loro dalla equazione differenziale generale degli oscillatori armonici. Solo le condizioni al contorno vengono modificate, in questo caso il valore di omega. Trovando le caratteristiche che legano omega all’oscillatore è possibile trarre l’equazione del moto specifica.

Annunci
Pubblicato su Uncategorized

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: