Approssimazioni e composizione di moti oscillatori

Come abbiamo visto, abbiamo trovato un equazione generale dei moti oscillatori partendo da semplici presupposti e paragonando i risultati con eventi reali per verificarne, almeno qualitativamente, l’esattezza. Partendo dalla formula base delle oscillazioni F = -k \epsilon dove \epsilon è uguale ad un tratto di spazio tra il punto di equilibrio x_{0} e un altro x_{1} dove vale la relazione
\\  F_{x}= -k (x_{1}-x_{0}) = -k \epsilon

Tramite questa relazione siamo risaliti ad un equazione differenziale generale che soddisfa i moti oscillatori
\\ \frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2} = - \frac {k(x_{1}-x_{0})}{m}
e alle sue possibili soluzioni
\\ x(t) = A \cos (\omega t + \delta)   \\ v(t) = - A \omega \sin (\omega t + \delta)   \\ a(t) = - A \omega^{2} \sin (\omega t + \delta)
L’ultima equazione può essere riscritta sostituendovi il contenuto di x(t)
\\ a = - A \omega^{2} x

Dato che l’accelerazione per questo tipo di oscillazioni è uguale a -k/m avremo una stretta relazione tra il tipo di forza dell’oscillazione presa in esame e l’equazione generale di un onda
\\ \omega^{2} = \frac{k}{m} \rightarrow \omega= \sqrt{\frac{k}{m}}
A seconda della natura dell’oscillatore preso in esame, la forza esercitata attorno al punto di equilibrio sarà data da variabili di natura differente pur rispettando il concetto base di una forza proporzionale ma di verso contrario al moto. Le forma più comune che abbiamo trovato anche sperimentalmente è
F= -k \sin \epsilon \approx -k \epsilon
k rappresenta il coefficiente angolare di una retta tra i due punti cioé dove la relazione è ben approssimata a lineare e il moto può essere considerato armonico semplice.

Abbiamo anche determinato il moto dal punto di vista della energia potenziale U, accomunando le forze di questo tipo di oscillazioni alle forze conservative come la gravità. Una forza è conservativa quando l’energia dipende solo dal punto in cui si trova il corpo al quale è stata applicata la forza.
Infatti a parità di posizione dell’oscillatore, la quantità di energia potenziale rimane costante, ossia, ogni volta che l’oscillatore si trova a determinate coordinate avrà una determinata velocità.
Finché lo spostamento dal punto di equilibrio non è molto grande, U è quasi parabolica nella forma
\\ U= A \ + \ B (x_{0} - x_{1})^{2}
e la forza
\\ F_{x} = - \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x}
Quindi deriviamo U per dx ed eguagliamo il risultato per Fx
\\ F_{x} = - \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x} = -2 B (x_{0}-x_{1})
per k= 2B che è comunque una costante, abbiamo riottenuto la formula base delle oscillazioni. Abbiamo così dimostrato che l’equazione delle oscillazioni F=-kx si comporta come una forza conservativa.
\\ F_{x} = - \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x} = -k(x_{0}-x_{1})

Da queste formule possiamo vedere come si comporta la rappresentazione sugli assi cartesiani di forza e energia delle oscillazioni.
In un grafico forza/posizione, un punto di equilibrio che si possa approssimare a stabile è viene rappresentato dalla intersezione della curva con l’asse delle ascisse, cioè quando la forza è zero. Nell’immediato intorno di quel punto la sinusoide F= -k sen(x) è approssimabile ad una retta F = -kx.
In un grafico energia totale/posizione ci aspettiamo che il punto di equilibrio sia rappresentato da una parabola il cui punto di massimo dell’energia cinetica (o di minimo di quella potenziale) . Gli estremi invece rappresenteranno i massimi dell’energia potenziale.

Nei moti oscillatori reali, le oscillazioni risentono di molti effetti dovuti al mezzo di propagazione o ad altre forze circostanti che perturbano il sistema. L’energia totale, ad esempio, perlopiù decresce durante le oscillazioni ed infatti il caso più classico è quello dell’oscillazione smorzata dagli attriti, i quali dissipano la forza iniziale e riducono progressivamente l’ampiezza dell’oscillazione attorno al punto di equilibrio fino a fermarsi.
Sperimentalmente possiamo osservare che in questo tipo di oscillazioni il periodo e l’ampiezza diminuiscono e la frequenza aumenta. Possiamo prendere ad esempio qualsiasi pendolo semplice che, dopo l’impulso iniziale, col tempo, tende a fermarsi al suo punto di equilibrio nel modo descritto.
La ragione principale dello smorzamento delle oscillazioni è l’attrito col mezzo circostante. Esperimenti condotti nel vuoto pneumatico ad esempio migliorano notevolmente la costanza delle oscillazioni.
Per rappresentare e descrivere gli smorzamenti tramite le equazioni sulle oscillazioni, possiamo introdurre la legge di Stokes che rappresenta come gli attriti riducano l’accelerazione dei corpi nei fluidi fino ad azzerarla. La forza di un corpo che si muove in un fluido è contraria e proporzionale alla velocità:
F_{x}= -bv  dove b rappresenta il coefficiente di smorzamento dipendente dal fluido usato. L’espressione completa della forza risultante di un moto armonico che viene smorzato parallelamente diviene
\\ F_{x} = - bv -kx
Utilizziamo le leggi della dinamica di Newton per risalire alla legge del moto a partire dalla forza risultante che abbiamo trovato.
\\ F_{x} = m \ a = m \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}
aggiungiamo lo smorzamento -bv
\\ a_{x}= \frac{1}{m} \left ( \frac{\mathrm{d^2 x}}{\mathrm{d t^2}} -bv \right )  \\   \\ m \frac{\mathrm{d^2 x}}{\mathrm{d t^2}} = -kx -bv
Possiamo ottenere una comprensione almeno qualitativa del comportamento di una oscillazione smorzata anche senza risolvere l’equazione differenziale e confrontarlo con le considerazioni che abbiamo fatto prima. Se lo smorzamento è abbastanza piccolo, ci aspetteremmo , intuitivamente, che il corpo oscilli con una frequenza angolare omega primo circa uguale a quello della corrispettiva oscillazione non smorzata omega e ci aspetteremmo che l’ampiezza decresca lentamente a causa della forza di attrito che contrasta l’aumento di velocità e dissipa l’energia totale.
Valore medio della velocità in un oscillazione armonica semplice sarà
\\ E= 2 \left ( \frac{1}{2}m v^{2} \right ) = m v^{2}
Mentre in un oscillazione smorzata l’energia viene lentamente dissipata ad ogni meriodo.
Ovviamente anche la potenza istante per istante decresce insieme all’energia. Se rimpiazziamo v^2 con il suo valore medio otteniamo
\\ P= \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = F dv = -bv^{2}
Mentre in un oscillazione smorzata l’energia viene lentamente dissipata ad ogni meriodo.
Ovviamente anche la potenza istante per istante decresce insieme all’energia. Se rimpiazziamo v^2 con il suo valore medio otteniamo
\\ P= \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = F dv = -b \frac{E}{m}   \\  \\ \frac {\mathrm{d}E}{E}= -b \frac {\mathrm{d}t}{m}
Quest’ultima equazione differenziale decrive una decrescita esponenziale. La variazione di energia nel tempo è proporzionale all’energia. Integrando questa formula otteniamo infatti il logaritmo di E che per comodità passiamo in forma esponenziale.
\\  \ln E = -\frac{b}{m} t @plus; c \\ E = e^{\frac{bt}{m}@plus;c}= e^{c} \cdot e^{\frac{bt}{m}}
e^c è una costante e rappresenta l’energia iniziale che risente del secondo fattore che è la decrescita esponenziale nel tempo.
Questa formula descrive infatti che l’energia del moto istante per istante è proporzionale all’energia iniziale con lo smorzamento esponenziale

Il fattore di smorzamento descrive un asintoto tangente alla oscillazione che tende all’asse delle ascisse cioé al valore di forza minimo, corrispondente al punto di equilibrio dell’oscillatore. Ne deriva che l’ampiezza A decresce progressivamente. Per comodità la parte costante dell’esponente b/m la eguagliamo a tau. Tau rappresenterà il tempo che ci impiega l’energia totale a diminuire di un fattore 1/e.
Quando lo smorzamento è piccolo e tau è grande allora l’oscillatore perde solo una piccola parte di energia ad ogni periodo e ne possiamo calcolare la perdita come segue. Rimpiazziamo i differenziali dE e dt con le variazioni medie delta E e delta t, dove delta t è uguale ad un periodo completo T. In questo modo abbiamo imposto le condizioni che ci servivano per questo specifico calcolo.
\\  \frac{\mathrm{d} E}{E}= - \frac{b}{m}dt \rightarrow \frac{\Delta E}{E}= - \frac{b}{m}T
La variazione di energia ad ogni periodo è proporzionale all’energia totale in ragione dello smorzamento -b/m
Lo smorzamento di un oscillatore leggermente smorzato viene descritto come una quantità adimensionale chiamata fattore di qualità Q. Esso è semplicemente la variazione proporzionale di energia totale in un intero ciclo. Se E è l’energia totale e \Delta E è la variazione assoluta di energia persa in un periodo, il fattore Q sarà uguale dunque al rapporto tra le due nello spazio percorso in un oscillazione completa, cioè 2 \pi .
\\ Q = 2 \pi \frac{E}{\left | \Delta E \right |}   \\ \frac{\left | \Delta E \right |}{E}= \frac{2 \pi}{Q}
Proporzionalità tra variazione di energia persa con il periodo/spazio percorso e l’energia iniziale con il fattore qualità.
\\ Q = 2 \pi \frac{E}{\left | \Delta E \right |} = 2 \pi \frac{m}{bT}= 2 \pi \frac {\tau}{T}
Se ad esemio un oscillatore smorzato perdesse 1% dell’energia E ad ogni periodo, avremmo il rapporto
\\ \frac{\left | \Delta E \right |}{E} = \frac{1}{100}= \frac {m}{bT}\Rightarrow Q= 2 \pi \cdot 100 = 628
Quindi maggiore è Q e minore sarà lo smorzamento.
Un altra relazione può essere trovata tramite la formula dell’energia totale di un ocillatore è la quale è proporzionale al quadrato dell’ampiezza
\\ \frac{A^{2}_{0}}{A^{2}_{1}}=\frac{E_{0}}{E_{1}} \Rightarrow E_{0} A^{2}_{1}= E_{1} A^{2}_{0}= costante
Dove troviamo che l’energia è proporzionale all’ampiezza della oscillazione e i loro rapporti rimangono costanti.
\\E=\frac{1}{2}k A^2   \\  \\  A^{2}_{1}=A^{2}_{0}e^{-\frac{bt}{m}} \Rightarrow \frac{A^{2}_{1}}{A^{2}_{0}}=e^{-\frac{bt}{m}}
Quindi sia energia che ampiezza decrescono esponenzialmente col tempo/periodi.
L’equazione del moto smorzato è una soluzione discendente dall’equazione differenziale della forza

\\   F_x = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx-bv \Rightarrow x= A_{0}e^{-bt/2m}\cos(\omega t @plus; \delta)   \\ \omega^{'}=\omega_{0} \sqrt{1-\left (\frac{b}{2m \omega_{0}} \right )^2}= \omega_{0}\sqrt{1-\frac{1}{4Q}}
Anche la frequenza cambia col tempo ed è inversamente proporzionale al fattore Q. Vediamo che i valori della frazione nella radice quadrata devono essere minori di uno altrimenti avremo casi impossibili. Al decrescere del fattore sotto radice, omega aumenta come constatiamo sperimentalmente.
Ora possiamo calcolare facilmente i rapporti tra le frequenze imponendo dei valori a Q, ad esempio per Q=10 avremo
\\  2 \pi x = 10 \Rightarrow x = \frac {10}{2 \pi} = \frac{10}{6.28} \approx 1.6  \\  \frac{E}{\Delta E} \Rightarrow \Delta E  =  \frac{E}{1.6}= 0.625 \%  \\  \omega^{'}= \omega_{0} \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^{2}}} = \omega_{0} \sqrt{1- \frac{1}{400}} = 0.998 \cdot \omega_{0}
Una differenza di appena 2 millesimi rispetto la frequenza iniziale per un fattore qualità 10

Finora abbiamo preso in considerazione piccoli smorzamenti ma se Q fosse abbastanza piccolo o b abbastanza grande, le oscillazioni terminerebbero subito o non avverrebbero del tutto. La frequenza che ci da lo smorzamento critico deve essere almeno doppia a quello iniziale affinché l’oscillatore si fermi entro un periodo.
Essendo la frequenza di un oscillazione smorzata pari a b/m avremo
\\  \frac{b_c}{m}\geqslant 2 \omega_{n} \Rightarrow b_c \geqslant 2m \omega_{n}
Quindi se b è uguale o più grande di questo valore critico, il sistema non oscillerà affatto e semplicemente tornerà, o tenderà a tornare al suo punto di equilibrio.

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