Approssimazioni e composizione di moti oscillatori

Come abbiamo visto, abbiamo trovato un equazione generale dei moti oscillatori partendo da semplici presupposti e paragonando i risultati con eventi reali per verificarne, almeno qualitativamente, l’esattezza. Partendo dalla formula base delle oscillazioni F = -k \epsilon dove \epsilon è uguale ad un tratto di spazio tra il punto di equilibrio x_{0} e un altro x_{1} dove vale la relazione
\\  F_{x}= -k (x_{1}-x_{0}) = -k \epsilon
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Ulteriori moti armonici

Nonostante le informazioni che abbiamo trovato sui moti armonici semplici, le quali ci aiutano a comprendere come avvengono le oscillazioni, possiamo applicare queste formule solo in casi molto semplici.
Un oscillazione di un pendolo ad esempio seguirebbe una legge differente che può solo essere approssimata a quella di Hooke e per oscillazioni il cui valore del seno dell’angolo massimo sia molto simile al valore dell’angolo stesso, quindi particolarmente piccolo. Infatti lo spostamento di un pendolo dipende dal seno della posizione angolare piuttosto che dello spostamento lineare o del semplice angolo. Se volessimo trovare l’equazione adatta a questo tipo di moto (allo stesso modo delle molle) avremmo delle difficoltà nel calcolare le possibili soluzioni della relativa equazione differenziale. Il calcolo si complicherebbe parecchio.

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Energia in un moto armonico

Abbiamo visto la forma matematica di un moto armonico semplice convalidata dalle osservazioni sperimentali di posizione velocità e accelerazione. Questo ci ha dato una discreta idea del comportamento di questi moti e di una analisi qualitativa sui comportamenti relativi delle variabili in gioco. Se ci si riflette si potrebbero fare moltissimi altri esempi di eventi riconducibili alle oscillazioni armoniche semplici ma non troveremmo nulla di sostanzialmente nuovo.
Per trovare nuove relazioni che ci aiutino ed espandano i concetti sulle oscillazioni introduciamo anche qui uno dei principi cardine della dinamica e di tutta la fisica, la conservazione dell’energia totale del sistema.
Come sappiamo, in un sistema conservativo, l’energia totale rimane costante, viene continuamente trasformata in varie forme; che sia cinetica, potenziale o calore, la somma di queste energie rimane costante in ogni momento. E’ lecito aspettarsi che nell’approssimazione di un oscillazione con ampiezza costante, l’energia totale del sistema rimanga costante e si comporti similarmente ad un sistema conservativo.
L’energia totale di una molla compressa o estesa si trova facilmente ed è assimilabile all’energia potenziale di un corpo in caduta da una certa altezza.
\\ F_x = -k x \\ \\ dE = F_x \dot dx = -k x \cdot dx \\ \\ E= \int_{0}^{x} kx \cdot dx = \frac {1}{2}kx^2 \\ \\ dU= - F_x \cdot ds = - \frac {1}{2}kx^2
Quindi dato che lo spostamento x è rappresentato dalla ampiezza massima A avremo
\\ E_{tot}= \frac {1}{2}kA^2
che rappresenta l’equivalente della energia potenziale quando la molla ha raggiunto l’ampiezza desiderata prima di essere lasciata libera di oscillare.
Quando il corpo vincolato alla molla ritorna nel punto di origine l’energia iniziale è zero (ampiezza zero) ma la velocità è massima che rappresenterà l’energia cinetica massima. La somma di queste quantità rimane costante in ogni istante, all’aumentare dell’una corrisponderà la diminuzione dell’altra in un andamento sinusoidale.
\\ E_{tot} = \frac{1}{2}kx^2 + \frac {1}{2}m v^2= costante
\\ U = \frac{1}{2}k(A \ cos (\omega t + \delta))^2 \\ \\ U = \frac{1}{2}k\ A^2 \ cos^2 (\omega t + \delta) \\ \\ K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (-A \ \omega \ sin (\omega t +\delta))^2 \\ \\ \omega^2= \frac{k}{m} \\ \\ K = \frac{1}{2} A^2 \ k \ sin^2 (\omega t +\delta)
Dunque la somma dell’energia totale darà
\\ E_{tot} = U + K = \frac{1}{2}k\ A^2 \ cos^2 (\omega t + \delta) + \frac{1}{2} A^2 \ k \ sin^2 (\omega t +\delta)
che possiamo semplificare grazie alla relazione fondamentale della trigonometria in
\\ E_{tot} = \frac{1}{2}k\ A^2" title="\\ E_{tot} = \frac{1}{2}k\ A^2
L’energia potenziale cinetica, come abbiamo detto, dovranno dunque variare in funzione dell’energia totale rispetto al quadrato della loro funzione trigonometrica
\\ U = E_{tot}\ cos^2(\omega t + \delta) \\ K = E_{tot}\ sin^2(\omega t + \delta)" title="\\ U = E_{tot}\ cos^2(\omega t + \delta) \\ K = E_{tot}\ sin^2(\omega t + \delta)
Anche qui le equazioni ricavate ci danno dei risultati assolutamente compatibili con le osservazioni sperimentali. Il comportamento dell’energia è qualitativamente simile a quello di un sistema conservativo anche se le energie variano tra loro con un andamento sinusoidale piuttosto che parabolico come nel caso di un corpo in caduta libera.

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Oscillazioni e onde

Iniziamo ora un capitolo della fisica che in didattica viene spesso usato come trait d’union tra i corsi di fisica I e II, tra la meccanica e i campi elettromagnetici. Le oscillazioni e le onde.

Le oscillazioni e le onde sono ovunque, sebbene non in modo sempre evidente come le onde del mare o come una corda libera di vibrare, sono parte integrante dei meccanismi che regolano l’Universo fino agli ordini di grandezza più estremi. Attraverso le onde percepiamo suoni e colori, sono il meccanismo principale di trasmissione dell’informazione in un mezzo e, più in generale, esse sono il metodo in cui l’energia si propaga nello spazio.

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Gravity Probe B: la lunga storia di un esperimento

Un altro corollario della Teoria della Relatività Generale di Einstein è stato confermato. Si tratta di 2 effetti previsti dalla teoria, nel particolare quelli riguardanti gli effetti sullo spaziotempo da parte di masse in rotazione.

Veloce carrellata storica: Come è noto, la teoria di Einstein rappresentò una svolta enorme nella comprensione dell’Universo. Modificava radicalmente il modo di vedere e percepire lo spazio ed il tempo, non più come assoluti elementi a se stante, ma intimamente correlati così come esposto dalle equazioni di Lorentz.
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Introduzione alle grandezze fisiche

Potrebbe non essere semplice dare una definizione di grandezza fisica, nonostante ogni giorno abbiamo a che fare con misurazioni che ovviamente coinvolgono grandezze prestabilite. Il concetto comune quindi è ben assodato, tuttavia le caratteristiche di una grandezza fisica possono essere estremamente varie, e i fisici si prefiggono di misurare con precisione ogni possibile oggetto nell’Universo e di tracciare l’andamento di qualsiasi evento possa verificarvisi, in qualsiasi ambito si possa concepire (almeno nelle possibilità umane).
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Termodinamica XI – Teoria cinetica dei gas

Abbiamo trovato molte relazioni, che ci hanno permesso di descrivere un comportamento medio dei gas, in base ai postulati dati inizialmente. Proviamo ora, attraverso gli stessi postulati di arrivare a coniugare il comportamento medio macroscopico dei gas con quello microscopico delle molecole, giungendo così ad una formulazione dell’energia meccanica delle singole particelle e dei loro vettori. Questa trattazione e le relazioni che seguono, compongono la cosiddetta teoria cinetica dei gas

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